Python动态规划实战：递归与非递归求解数组最大非相邻和及子集和问题

Miles

发布时间：2026-10-13| 2人浏览过

原创

本文通过两个经典案例演示Python中动态规划的递归与非递归实现。案例一求解数组非相邻元素的最大和，对比了带缓存装饰器的递归写法与迭代数组法；案例二判断数组是否存在和为指定值的子集，同样展示了递归回溯与基于numpy的多维DP表构建方式。文章重点解析了状态转移逻辑及空间优化策略，适用于算法初学者理解动态规划核心思想。

概要

本文简要介绍动态规划在递归与非递归两种模式下的具体实现方法。

案例一

题目一：求解数组中不相邻元素的最大和

[题目描述]

给定一个数组arr，从中选取一组互不相邻的数字，使得这些数字的总和达到最大。

[示例输入]

arr = [1, 2, 4, 1, 7, 8, 3]

[示例输出] 15

from functools import wraps
def memoDeco(func):
  '''
  memoDeco主要是缓存已遍历的节点，减少递归内存开销
  '''
  cashe={}
  @wraps(func)
  def wrapper(*args):
    if args not in cashe:
      cashe[args]=func(*args)
    return cashe[args]
  
  return wrapper

@memoDeco
def recMaxArray(array,index):
  if index==0:
    return array[0]
  elif index==1:
    return max(array[0],array[1])
  else:
    return max(recMaxArray(array,index-2)+array[index],recMaxArray(array,index-1))
  
if __name__=="__main__":
  array=(1,2,4,1,7,8,3)
  print(recMaxArray(array,len(array)-1))

非递归实现

def dpMaxArray(array):
  '''
  代码讲解详见引用一：正月点灯笼讲解
  '''
  lens=len(array)
  maxArray=[0]*(lens)
  maxArray[0]=array[0]
  maxArray[1]=max(array[0],array[1])
  for i in range(2,lens):
    maxArray[i]=max(maxArray[i-2]+array[i],maxArray[i-1])
  return maxArray[-1]

  
if __name__=="__main__":
  array=(1,2,4,1,7,8,3)
  print(dpMaxArray(array))

案例二

[题目描述]

给定一个正整数s，判断数组arr中是否存在一组数字，其累加和恰好等于s。

[示例输入]

arr = [3, 34, 4, 12, 5, 3]

s = 9

[实例输出]

true

递归实现

from functools import wraps

#和第一题一样，套用装饰器可以做一个缓存节点作用
def memoDeco(func):
  '''
  memoDeco主要是缓存已遍历的节点，减少递归内存开销
  '''
  cashe = {}
  
  @wraps(func)
  def wrapper(*args):
    if args not in cashe:
      cashe[args] = func(*args)
    return cashe[args]
  
  return wrapper


@memoDeco
def recSubSet(arr, index, tar_num):
  if index == 0:
    return arr[0] == tar_num
  elif tar_num == 0:
    return True
  elif arr[index] > tar_num:
    return recSubSet(arr, index - 1, tar_num)
  else:
    return recSubSet(arr, index - 1, tar_num) or recSubSet(arr, index - 1, tar_num - index)


if __name__ == "__main__":
  arr = (3, 34, 4, 12, 5, 3)
  tar_num = 13
  index = len(arr) - 1
  print(recSubSet(arr, index, tar_num))

非递归实现

'''
多维数组构建用python第三方库numpy比较方便
代码讲解详见引用一：正月点灯笼讲解
'''
import numpy as np


def dpSubSet(arr, tar_num):
  subSet = np.zeros((len(arr), tar_num + 1), dtype=bool)
  subSet[:, 0] = True
  subSet[0, :] = False
  subSet[0, arr[0]] = True
  for i in range(1, len(arr)):
    for j in range(1, tar_num + 1):
      if arr[i] > j:
        subSet[i, j] = subSet[i - 1, j]
      else:
        subSet[i, j] = subSet[i - 1, j] or subSet[i - 1, j - arr[i]]
  return subSet[-1, -1]


if __name__ == "__main__":
  arr = (3, 34, 4, 12, 5, 3)
  tar_num = 13
  print(dpSubSet(arr, tar_num))