Python NumPy 矩阵求逆与伪逆详解

直接通过代码示例进行说明。

import numpy as np 
kernel = np.array([1, 1, 1, 2]).reshape((2, 2))
print(kernel)
print(np.linalg.inv(kernel))

需要注意，Singular matrix（奇异矩阵）无法计算逆矩阵。

补充说明：在Python结合NumPy的环境中，矩阵的逆与伪逆存在具体差异。

定义说明：

若存在矩阵B，满足AB=BA=E（E为与A、B同维数的单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵（此处指凯利逆）。

矩阵A可逆的充要条件是其行列式|A|≠0。

伪逆矩阵是逆矩阵的推广形式。对于奇异矩阵或非方阵，由于不存在常规逆矩阵，可通过函数pinv(A)计算其伪逆矩阵。

基本语法为X=pinv(A)或X=pinv(A,tol)，其中tol为误差阈值，计算公式为max(size(A))*norm(A)*eps。

该函数返回一个与A的转置矩阵A'同型的矩阵X，且满足：AXA=A，XAX=X。此时称X为矩阵A的伪逆，亦称广义逆矩阵。

pinv(A)具备inv(A)的部分特性，但二者并不完全等同。

当A为非奇异方阵时，pinv(A)的结果等于inv(A)，但pinv(A)会消耗更多计算时间，相比之下inv(A)效率更高。

具体代码实现如下：

1. 矩阵求逆操作

import numpy as np
a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 初始化一个非奇异矩阵(数组)
print(np.linalg.inv(a)) # 对应于MATLAB中 inv() 函数
# 矩阵对象可以通过 .I 求逆,但必须先使用matirx转化
A = np.matrix(a)
print(A.I)

2. 矩阵求伪逆操作

import numpy as np
# 定义一个奇异阵 A
A = np.zeros((4, 4))
A[0, -1] = 1
A[-1, 0] = -1
A = np.matrix(A)
print(A)
# print(A.I) 将报错，矩阵 A 为奇异矩阵，不可逆
print(np.linalg.pinv(A)) # 求矩阵 A 的伪逆（广义逆矩阵），对应于MATLAB中 pinv() 函数

以上即为矩阵逆与伪逆的主要区别。

截至2020年10月4日，matrix函数仍可使用，但已处于过时状态，建议改用mat函数。

以上内容为个人经验总结，仅供参考。如有错误或未考虑周全之处，欢迎指正。