Python NumPy计算方差、标准差与协方差详解

NumPy库功能强大，本文简要介绍如何利用NumPy进行方差、标准差、样本标准差以及协方差的计算。

variance：方差

方差（Variance）是概率论中的基础概念，由统计学家罗纳德·费雪于1918年首次提出。它用于衡量数据的离散程度，反映变量与其数学期望（均值）之间的偏离情况。即使两组数据具有相同的均值，其标准差也可能不同，通过比较标准差的大小可以更直观地评估数据的偏离程度。

计算示例：给定一组数据1、2、3、4，如何计算其方差？

具体计算步骤如下：

均值 = (1+2+3+4)/4 = 2.5 方差 = ((1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 + (4-2.5)^2)/4 = (2.25+0.25+0.25+2.25)/4 = 1.25

在Python的NumPy库中，使用var函数即可求解，代码及执行结果如下：

liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-5.py 
#!/usr/local/bin/python
import numpy as np
arr = np.array([1,2,3,4])
print("variance of [1,2,3,4]:", np.var(arr))
liumiaocn:tmp liumiao$ python np-5.py 
('variance of [1,2,3,4]:', 1.25)
liumiaocn:tmp liumiao$ 

standard deviation：标准差

标准差是方差的平方根，因此：

计算示例：给定一组数据1、2、3、4，如何计算其标准差？

计算过程很简单，对方差1.25进行开方运算即可得到约1.118。

使用NumPy库中的std函数可以非常简单地求解，代码及执行结果如下：

liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-6.py 
#!/usr/local/bin/python
import numpy as np
arr = np.array([1,2,3,4])
print("variance of [1,2,3,4]:", np.var(arr))
print("sqrt of variance [1,2,3,4]:",np.sqrt(np.var(arr)))
print("standard deviation: np.std()", np.std(arr))
liumiaocn:tmp liumiao$ python np-6.py 
('variance of [1,2,3,4]:', 1.25)
('sqrt of variance [1,2,3,4]:', 1.118033988749895)
('standard deviation: np.std()', 1.118033988749895)
liumiaocn:tmp liumiao$ 

sample standard deviation：样本标准差

标准差通常针对总体样本进行求解。如果涉及抽样，则需要使用样本标准差。这同样是一个开方运算，但对象不再是方差，而是各个数据与均值之差的平方和的平均值。简单来说，总体方差除以的是N，而样本标准差对应的方差除以的是N-1。

计算示例：给定一组数据1、2、3、4，如何计算其样本标准差？ 计算步骤如下： 均值 = (1+2+3+4)/4 = 2.5 样本标准差对应的方差 = ((1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 + (4-2.5)^2)/3 = (2.25+0.25+0.25+2.25)/3 = 5/3 对5/3进行开方运算，得到的样本标准差约为1.29。

同样可以使用NumPy的std函数实现，只需将可选参数ddof设置为1即可，代码及执行结果如下：

liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-7.py 
#!/usr/local/bin/python
import numpy as np
arr = np.array([1,2,3,4])
print("sample standard deviation: np.std()", np.std(arr, ddof=1))
liumiaocn:tmp liumiao$ python np-7.py 
('sample standard deviation: np.std()', 1.2909944487358056)
liumiaocn:tmp liumiao$

注意：Matlab中的std函数实际计算的是样本标准差。这一点需要特别注意，如果你的代码是从Matlab复制过来的，请确认其实际意义是总体标准差还是样本标准差。

Covariance：协方差

协方差与方差较为接近，区别在于分母为N-1。

计算示例：给定一组数据1、2、3、4，如何计算其协方差？

具体计算步骤如下：

均值 = (1+2+3+4)/4 = 2.5 方差 = ((1-2.5)^2 + (2-2.5)^2 + (3-2.5)^2 + (4-2.5)^2)/(4-1) = (2.25+0.25+0.25+2.25)/3 = 1.66667

使用NumPy的cov函数即可简单求出，代码及执行结果如下：

liumiaocn:tmp liumiao$ cat np-8.py 
#!/usr/local/bin/python
import numpy as np
arr = np.array([1,2,3,4])
print("Covariance: np.cov()", np.cov(arr))
liumiaocn:tmp liumiao$ python np-8.py 
('Covariance: np.cov()', array(1.66666667))
liumiaocn:tmp liumiao$

总结

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