Python实现图像二维离散傅立叶变换与可视化优化

小鹿同学

发布时间：2026-10-13| 2人浏览过

原创

本文介绍如何在Python中使用numpy库进行图像的二维离散傅立叶变换（FFT2）。内容涵盖从空间域到频域的转换原理，对比直接公式实现与快速傅立叶变换的效率差异，并详细讲解如何通过fftshift移动原点以及利用log(1+x)对数变换优化频谱可视化效果，解决动态范围过大导致的显示问题。

图像二维离散傅立叶变换原理

对于尺寸为M×N的图像，二维离散傅立叶变换（DFT）能够将图像从空间域转换至频域。在空间域中，坐标通常用x和y表示；而在频域中，则使用u和v来表示频率分量。其数学定义公式如下所示：

Python中的FFT2实现与可视化优化

在Python环境中，借助numpy库的fft模块提供的fft2函数，可以便捷地执行二维离散傅立叶变换。该函数接收一张灰度图像作为输入，并返回变换后的频域结果。需要注意的是，底层实现并未直接套用上述积分公式，而是采用了计算效率更高的快速傅立叶变换（FFT）算法。为了对变换结果进行可视化，必须调用abs函数计算其模值。然而，由于傅立叶频谱的数值范围极其宽广，直接展示视觉效果较差，因此通常需要对结果进行对数变换以改善显示效果。

在应用对数函数时，务必采用log(1 + x)的形式，而非直接使用log(x)。这一处理旨在避免对零值取对数时产生的数学异常或错误。

此外，为了获得更直观的频谱分布，需要将图像变换的原点移动至频域矩形的中心位置。这可以通过对fft2的输出结果应用fftshift函数来实现。完成中心化后，同样建议结合对数变换来优化最终的可视化呈现。

具体的代码实现如下：


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img = plt.imread('photo.jpg')

#根据公式转成灰度图
img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]

#显示原图
plt.subplot(231),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')

#进行傅立叶变换，并显示结果
fft2 = np.fft.fft2(img)
plt.subplot(232),plt.imshow(np.abs(fft2),'gray'),plt.title('fft2')

#将图像变换的原点移动到频域矩形的中心，并显示效果
shift2center = np.fft.fftshift(fft2)
plt.subplot(233),plt.imshow(np.abs(shift2center),'gray'),plt.title('shift2center')

#对傅立叶变换的结果进行对数变换，并显示效果
log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))
plt.subplot(235),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')

#对中心化后的结果进行对数变换，并显示结果
log_shift2center = np.log(1 + np.abs(shift2center))
plt.subplot(236),plt.imshow(log_shift2center,'gray'),plt.title('log_shift2center')

程序运行后的输出结果如图所示：

基于公式的直接实现与复杂度分析

以下是严格按照数学公式手动实现的二维离散傅立叶变换代码：


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
PI = 3.141591265
img = plt.imread('temp.jpg')

#根据公式转成灰度图
img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]

#显示原图
plt.subplot(131),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')

#进行傅立叶变换，并显示结果
fft2 = np.fft.fft2(img)
log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))
plt.subplot(132),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')

h , w = img.shape
#生成一个同样大小的复数矩阵
F = np.zeros([h,w],'complex128')
for u in range(h):
 for v in range(w):
  res = 0
  for x in range(h):
   for y in range(w):
    res += img[x,y] * np.exp(-1.j * 2 * PI * (u * x / h + v * y / w))
  F[u,v] = res
log_F = np.log(1 + np.abs(F))
plt.subplot(133),plt.imshow(log_F,'gray'),plt.title('log_F')

直接依据公式进行计算的时间复杂度极高，因为涉及四重嵌套循环，其时间复杂度为。鉴于此，在实际工程应用中，必须采用快速傅立叶变换算法以保证性能。