Python实现斐波那契数列的三种算法：递归、递推与矩阵法

斐波那契数列基础与Python实现概述

斐波那契数列（Fibonacci）最早由印度数学家Gopala提出，而第一个真正研究斐波那契数列的是意大利数学家 Leonardo Fibonacci，斐波那契数列的定义很简单，用数学函数可表示为：

数列从0和1开始，之后的数由前两个数相加而得出，例如斐波那契数列的前10个数是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34。

在Python中实现斐波那契数列，常见的写法主要有三种。不同算法的执行效率存在显著差异，这也是技术面试中的高频考点。面试官通常不会仅满足于简单的递归实现，而是会深入询问时间复杂度、空间复杂度以及是否存在更优的改进方案。

递归法：简洁但低效

递归法

所谓递归就是指函数的定义中使用了函数自身的方法

def fib_recur(n):
assert n >= 0
if n in (0, 1):
return n
return fib_recur(n - 1) + fib_recur(n - 2)
for i in range(20):
print(fib_recur(i), end=" ")
>>> 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 

递归是代码最简洁的实现方式，但其执行效率极低，原因在于会产生大量的重复计算。其时间复杂度为 O(1.618 ^ n)，其中 1.618 为黄金分割比例。此外，Python 对递归深度有限制（默认最大深度为 1000），这导致递归法在实际求解大数值时并不可取。

递推法：线性时间复杂度

递推法

递推法就是从0和1开始，前两项相加逐个求出第3、第4个数，直到求出第n个数的值

def fib_loop(n):
a, b = 0, 1
for i in range(n):
a, b = b, a + b
return a
for i in range(20):
print(fib_loop(i), end=" ")
>>> 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 

这种算法的时间复杂是O(n)，呈线性增长，如果数据量巨大，速度越到后面会越慢。

上面两种方式都是使用分而治之的思想，就是把一个大的问题化小，然后利用小问题的求解得到目标问题的答案。

矩阵法：对数级复杂度优化

矩阵法

《线性代数》是大学计算机专业低年级的课程，这门课教的就是矩阵，那时候觉得这东西学起来很枯燥，没什么用处，工作后你才发现搞机器学习、数据分析、数据建模时大有用处，书到用时方恨少。其实矩阵的本质就是线性方程式。

斐波那契数列中两个相邻的项分别为：F(n) 和 F(n - 1)，如果把这两个数当作一个2行1列的矩阵可表示为：

因为 F(n) = F(n-1)+F(n-2)，所以就有：

通过反推，其实它是两个矩阵的乘积得来的

依此类推：

最后可推出：

因此想要求出F(n)的值，只要能求出右边矩阵的n-1次方的值，最后求得两矩阵乘积，取新矩阵的第一行的第一列的值即可，比如n=3时，

可以得知F(3)的值2，F(2)的值为1，因为幂运算可以使用二分加速，所以矩阵法的时间复杂度为 O(log n)

我们可以用科学计算包 numpy 来实现矩阵法：

import numpy
def fib_matr(n):
return (numpy.matrix([[1, 1], [1, 0]]) ** (n - 1) * numpy.matrix([[1], [0]]))[0, 0]
for i in range(20):
print(int(fib_matr(i)), end=" ")
>>> 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 

三种算法效率对比总结

3中不同的算法效率对比：

从上面图可以看出递归法效率惊人的低，矩阵法在数据量比较大的时候才突显出它的优势，递推法随着数据的变大，所花的时间也越来越大。

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