Python回溯法子集树模板实现0-1背包问题详解

Oliver

发布时间：2026-10-13| 3人浏览过

原创

本文通过Python代码实例，展示如何利用回溯法子集树模板解决0-1背包问题。文章详细分析了物品选择状态，提供了完整的冲突检测与递归求解代码，并解释了如何获取最优解及对应价值重量，适合Python算法学习者参考。

本文分享了一个使用Python语言，基于回溯法子集树模板来解决0-1背包问题的具体实例。内容旨在为读者提供清晰的实现思路与代码参考。

问题描述

假设现有N个物品和一个容量为C的背包。第i个物品的重量为Wi，价值为Vi。目标是确定哪些物品装入背包，使得装入物品的总价值达到最大。

问题分析

从N个物品中选取部分装入背包，其本质是从所有子集中寻找一个最优子集。对于每一个物品，仅存在“装入”或“不装入”两种状态。因此，算法需要对这N个物品的两种状态进行遍历搜索。

该问题的解可以表示为一个长度为N的0-1数组，其中每个元素代表对应物品是否被选中。

直接套用回溯法子集树的模板代码结构，可以高效地实现这一求解过程。

代码实现

'''0-1背包问题'''
n = 3      # 物品数量
c = 30      # 包的载重量
w = [20, 15, 15] # 物品重量
v = [45, 25, 25] # 物品价值
maxw = 0 # 合条件的能装载的最大重量
maxv = 0 # 合条件的能装载的最大价值
bag = [0,0,0] # 一个解（n元0-1数组）长度固定为n
bags = []   # 一组解
bestbag = None # 最佳解
# 冲突检测
def conflict(k):
  global bag, w, c
  # bag内的前k个物品已超重，则冲突
  if sum([y[0] for y in filter(lambda x:x[1]==1, zip(w[:k+1], bag[:k+1]))]) > c:
    return True
  return False
# 套用子集树模板
def backpack(k): # 到达第k个物品
  global bag, maxv, maxw, bestbag
  if k==n: # 超出最后一个物品，判断结果是否最优
    cv = get_a_pack_value(bag)
    cw = get_a_pack_weight(bag)
    if cv > maxv : # 价值大的优先
      maxv = cv
      bestbag = bag[:]
    if cv == maxv and cw < maxw: # 价值相同，重量轻的优先
      maxw = cw
      bestbag = bag[:]
  else:
    for i in [1,0]: # 遍历两种状态 [选取1, 不选取0]
      bag[k] = i # 因为解的长度是固定的
      if not conflict(k): # 剪枝
        backpack(k+1)
# 根据一个解bag，计算重量
def get_a_pack_weight(bag):
  global w
  return sum([y[0] for y in filter(lambda x:x[1]==1, zip(w, bag))])
# 根据一个解bag，计算价值
def get_a_pack_value(bag):
  global v
  return sum([y[0] for y in filter(lambda x:x[1]==1, zip(v, bag))])
# 测试
backpack(0)
print(bestbag, get_a_pack_value(bestbag))

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