Python使用numpy生成正态分布随机数向量与矩阵

一维正态分布的三种生成方式

生成一维正态分布样本时，需指定均值（mu）和标准差（sigma）。以下代码展示了三种等效的实现路径，均生成1000个样本：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

sampleNo = 1000
mu = 3
sigma = 0.1

# 方式1：直接使用 normal 函数
np.random.seed(0)
s1 = np.random.normal(mu, sigma, sampleNo)

# 方式2：基于标准正态分布缩放
np.random.seed(0)
s2 = sigma * np.random.randn(sampleNo) + mu

# 方式3：基于 standard_normal 缩放
np.random.seed(0)
s3 = sigma * np.random.standard_normal(sampleNo) + mu

通过绘制直方图（normed=True），可验证上述三种方式生成的分布形态一致。代码中通过设置随机种子（seed）确保结果可复现。

二维正态分布矩阵生成

对于多维正态分布，需指定均值向量（mu）和协方差矩阵（Sigma）。利用Cholesky分解将协方差矩阵转化为下三角矩阵，再与标准正态随机数矩阵相乘，即可得到目标分布的样本。

from numpy.linalg import cholesky

mu = np.array([1, 5])
Sigma = np.array([[1, 0.5], [1.5, 3]])

# Cholesky分解
R = cholesky(Sigma)

# 生成二维样本
s = np.dot(np.random.randn(sampleNo, 2), R) + mu

# 绘制散点图
plt.subplot(144)
plt.plot(s[:,0], s[:,1], '+')
plt.show()

注意：二维分布通常使用散点图展示数据分布，而非直方图。上述代码通过散点图直观呈现了样本在二维平面上的分布情况。

正态分布概率密度函数绘制

除了生成随机数，还可直接绘制正态分布的概率密度函数（PDF）。以下代码展示了如何计算并绘制标准正态分布的曲线：

import math

u = 0  # 均值
sig = math.sqrt(0.2)  # 标准差
x = np.linspace(u - 3*sig, u + 3*sig, 50)

# 计算概率密度函数值
y_sig = np.exp(-(x - u) ** 2 / (2 * sig ** 2)) / (math.sqrt(2 * math.pi) * sig)

# 绘制曲线
plt.plot(x, y_sig, "r-", linewidth=2)
plt.grid(True)
plt.show()

该代码通过numpy的linspace生成x轴数据，利用数学公式计算对应的y值，最终绘制出平滑的概率密度曲线。网格线（grid）的开启有助于更清晰地观察分布形态。

总结

本文通过具体示例展示了Python中生成正态分布随机数的多种方法，涵盖了一维向量与二维矩阵的生成，以及概率密度函数的可视化。掌握这些技巧有助于在数据分析、模拟实验等场景中高效处理正态分布相关任务。

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